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Vedische-Mathematik
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Geschrieben am 18.04.2012 - 22:32:58
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So heute möchte ich euch die Vedische Mathematik ein wenig näher bringen. Der Name bezieht sich dabei auf das indische Wort Veda was so viel bedeutet wie "Wissen" (soweit ich weiß). Dabei handelt es sich um hauptsächlich in Indien verbreitete Methoden des "Kopfrechnens". Da sie teilweise sehr stark von unseren Methoden des schriftlichen Rechnens abweichen und oftmals einen enormen Geschwindigkeitsvorteil bieten, wollte ich sie euch einmal vorstellen.

Subtraktion von einer (echten) Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...)

Das ist eine Methode, die ich eigentlich auch vom Gefühl her automatisch anwende, aber ich möchte sie trotzdem als kleinen Einstieg nennen. Hierfür merke man sich den Merksatz "Alle von der 9 die letzte von der 10". Was so viel heißen soll, dass wir alle Ziffern von der 9 subtrahieren und lediglich die letzte von der 10 subtrahieren.

Beispiel:

100.000 - 34.218 = 65782, aus 9-3 | 9-4 | 9-2 | 9-1 | 10-8 zusammengesetzt


Multiplikation von zweistelligen Zahlen

Hierbei schreibt man sich die Zahlen untereinander und multipliziert jeweils einmal vertikal und einmal diagonal. Danach bildet das Ergebnis der linken vertikalen Multiplikation die führende Ziffer, die rechte Vertikale die letzte Ziffer und die Summe der diagonalen Multiplikationen die mittlere Ziffer (ggf. mit Übertrag). Das klingt sicherlich alles sehr abstrakt, aber ein Beispiel sollte da Licht ins Dunkel bringen.

Beispiel: 78*39

7 8
*3 9
______
3*7 | 3*8+7*9 | 8*9 = 21 | 87 | 72 = 3042
von rechts nach links: die 7 geht als Übertrag in die Zehner rüber, dadurch entsteht ein Übertrag von 9 zu den Hundertern.


Spezialfall: Quadrieren von Zahlen die auf 5 enden

Hierfür gibt es eine sehr einfach Formel und zwar wenn wir die Zahl X|5 quadrieren wollen, wobei X für eine beliebige Folge von Ziffern stehen soll, dann gehen wir wie folgt vor:

(x|5)^2 = x*(x+1)|25


Wieder ein Beispiel zur Verdeutlichung:

85^2 = 8*(8+1)|25 = 8*9|25 = 7225


Multiplikation von beliebigen Zahlen (am besten nahe einer Zehnerpotenz)

Diese Methode funktioniert am besten für Zahlen die relativ nahe an einer Zehnerpotenz liegen. Warum das so ist wird sicherlich noch deutlich werden. Es funktioniert auch bei allen anderen, aber dann hat man nur gering bis keinen Zeitvorteil mit dieser Methode.

Man betrachtet die Multiplikation von zwei n-stelligen Zahlen (wenn eine Zahl weniger Stellen hat, dann werden einfach Nullen vorangesetzt). Als nächstes bestimmt man die Differenz der ersten Zahl zur nächsten (echten) Zehnerpotenz und subtrahiert diese Differenz von der Zweiten Zahl und schreiben das Ergebnis auf. Als nächstes bestimmen wir die Differenz der zweiten Zahl zur selben Zehnerpotenz und multiplizieren sie mit der ersten Differenz und notieren das Ergebnis hinter der ersten bestimmten Zahl und schon haben wir das Ergebnis.

Beispiel: 995*889

Nächste Zehnerpotenz ist 1000. Die Differenz von 995 beträgt 5 und die von 889 beträgt 111.
Damit erhalten wir als führende Ziffern: 889-5 = 884 und danach folgen 5*111 = 555. Also insgesamt 884555


Das ganze funktioniert auch, wenn die die Zahlen über einer Zehnerpotenz liegen, dann haben wir negative Differenzen und erhalten somit keine Subtraktion, sondern durch das doppelte - eine Addition. Außerdem funktioniert das ganze auch bei unterschiedlich großen Zahlen, wie zum Beispiel

45*9800 = 0045*9800

Hierbei wähle ich die nächste Zehnerpotenz 10 und erhalte die Differenz -35 für die 45. Hier haben wir also eine negative Differenz und somit rechnen wir 9800-(-35) = 9835 und notieren diese Zahl an den Anfang. Die Differenz von 9800 zu 10 ist -9790 und somit die Multiplikation der Differenzen 9790*35 = 342650. Nun kommt ein Problem hinzu, weswegen der Zeitaufwand hier auch relativ hoch ist, nämlich ein Übertrag von 34265 da die Einerstelle eigentlich nur aus einer Ziffer bestehen sollte. Wenn wir diesen aber beachten erhalten wir am Ende: 34265+9835 | 0 = 441000.



So ich hoffe, dass das hier jemand interessant fand. Falls größeres Interesse besteht kann ich auch noch ein paar mehr Rechenregeln aufschreiben. Zum Beispiel im Bereich Brüche, Wurzeln etc. müsste das dann nur nochmal in mein Gedächtnis rufen. Andere interessante Formeln, die mir gerade noch einfallen würden wären zum Einen die Wochentagsformel, die zu einem beliebigen Datum den Wochentag bestimmt oder die Osterformel von Gauß, welche hier ja auch noch aktuell sein dürfte, mit der man das Datum von Ostersonntag bestimmen kann.
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Geschrieben am 19.04.2012 - 06:39:04
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RE: Vedische-Mathematik

ich hatte irgendwann schon mal ne Dokumentation über diese Art des Rechnens gesehen. Ich finde das sehr faszinierend weil ich nicht Mathematiker genug bin um zu kapieren WARUM das alles funktioniert. Deshalb kommt mir diese Methode fast vor wie eine Sammlung Zaubertricks und Kunststückchen.
Ich könnte halt jemanden gebrauchen, der mir anschaulich erklärt WIESO man mit diesen einzelnen "Zauberkunststückchen" zum Ziel kommt. Die Logik erschliesst sich mir einfach nicht board.ostfc.de/images/smilies/bin_doof.gif
Vielleicht ist das der Grund weshalb ich dann doch lieber bei meiner herkömmlichen Methode bleibe und auch sehr froh bin, dass mir im immer u. überall ein Taschenrechner zur Verfügung steht.


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Geschrieben am 19.04.2012 - 09:44:03
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RE: Vedische-Mathematik

Das kann ich natürlich auch gerne machen:

Was hinter der Subtraktion steckt dürfte selbsterklärend sein, daher lasse ich das mal weg.

Multiplikation von zweistelligen Zahlen

Sagen wir wir haben die zwei Zahlen xy und uv, dabei sollen x, u für die Zehnerstelle stehen und y,v für die Einerstelle stehen. Das heißt wir können das mal ein wenig übersichtlicher aufschreiben in der Form: x*10 y*1 und u*10 y*1. Das ist ja nichts anderes als das was ich davor "erzählt" habe. Die zu lösende Aufgabe ist demnach:

(x*10 y)*(u*10 v)


Wenn man diese Klammern ausmultipliziert kommt man auf: x*u*100 (y*u x*v)*10 y*v. So das ist ja schön und gut, aber was hat das jetzt mit der Regel zu tun, die ich genannt hatte? Ganz einfach:

  • x*u = Multiplikation der führenden Ziffern und ergibt die führende Ziffer (Hunderter)
  • y*v = Multiplikation der letzen Ziffern und ergibt die Einer ( evtl Übertrag)
  • y*u x*v = kreuzweise Multiplikation der jeweils ersten mit der zweiten Ziffer und ergibt die mittlere Ziffer (Zehner)


Damit haben wir eine 1:1 Entsprechung der "normalen" Multiplikation mit der "indischen" Multiplikation.

Quadrieren von Zahlen die auf 5 Enden:

Hier ist das ganz ähnlich, da es ja eigentlich nur ein Spezialfall vom ersten Fall ist. Hier haben wir nicht zwei unterschiedliche Zahlen, sondern nur die Zahl x*10 5 und wollen diese quadrieren.

von der binomischen Formel wissen wir:
(x*10 5)^2 = x^2*100 2*5*x*10 5^2 = x^2*100 x*100 25 = x*(x 1)*100 25

Damit steht am Ende schon einmal wie vorhergesagt die 25 und da wir den Rest mit 100 multiplizieren steht davor x*(x 1) und das ist genau das was der "Trick" besagt.

Multiplikation nahe einer 10er Potenz

So wir haben zwei Zahlen und nennen diese einfach mal a und b und diese sollen nahe bei einer Zehnerpotenz liegen (diese kürze ich jetzt einfach mal mit 1000 ab, aber es könnte genauso gut 10, 100, 10000 usw. eingesetzt werden.
Man kann a und b auch anders schreiben, nämlich als a = 1000-x und b = 1000-y. Das heißt wir ziehen von der Zehnerpotenz genau so viel ab, dass wir a bzw. b erhalten.

Wieder ausmultiplizieren liefert dann:
a*b = (1000-x)(1000-y) = 1000*1000 - (x y)*1000 x*y = 1000*(1000-x-y) x*y = 1000*(b-x) x*y

Wir sehen schon, dass die letzten Ziffern aus x*y gebildet werden, also aus der Multiplikation der Differenzen zu 1000. Die führenden Ziffern setzen sich zusammen aus 1000-y-x = b -x, das heißt wir subtrahieren lediglich die Differenz x von der Zahl a zu 1000 von der Zahl b. Natürlich könnte da jetzt ein Übertrag von x*y reinspielen, falls x*y die 1000 übersteigt.

So ich hoffe das macht die Hintergründe etwas klarer und du siehst ein, dass das nicht nur zufällige Tricks sind, sondern dass das ganze wirklich funktioniert.
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Geschrieben am 16.07.2012 - 23:14:57
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RE: Vedische-Mathematik

Sorry für den Doppelpost, aber mir fällt gerade auf, dass die Plus- und Minuszeichen sehr oft verschwunden sind. Weiß jemand woran das liegt und wie man das verhindern kann? Denn so ist das ja teilweise ziemlich unverständlich was da oben steht.
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